uniformer Raum

unifọrmer Raum,

 

Mathematik: ein Paar (X, U ), bestehend aus einer Menge X und einer uniformen Struktur U auf X. Eine uniforme Struktur U auf X ist ein Filter U auf X ☓ X mit folgenden Eigenschaften: 1) jede Menge aus U umfasst die Diagonale {(x, x) / x ∈ X } von X ☓ X; 2) mit V gehört auch V^-1 = {(y, x) / (x, y) ∈ V } zu U; 3) zu jeder Menge V aus U existiert eine Menge W aus U, sodass W² = {(x, y) ∈ X ☓ X / es existiert z ∈ X mit (x, z) ∈ W, (z, y) ⊂ W }. Der Filter U heißt Nachbarschaftsfilter, die Mengen aus U heißen Nachbarschaften des und R. Jeder und R. (X, U ) ist ein topologischer Raum, da für jeden Punkt y aus X die Familie aller Teilmengen von X, die eine Menge V (y) = {z ∈ X / (y, z) ∈ V }, V ∈ U, enthalten, einen Umgebungsfilter von y bildet. Eine Teilmenge von X ist also bezüglich dieser induzierten topologischen Struktur genau dann offen, wenn sie für jeden ihrer Punkte y eine Menge V (y) umfasst. Ist (Y, T ) ein topologischer Raum, so existiert genau dann eine uniforme Struktur U auf Y, welche die Topologie T auf Y induziert, wenn (Y, T ) ein T_3a-Raum ist. Insbesondere ist jeder metrische Raum (X, d ) ein und R.; sein Nachbarschaftsfilter besteht aus den Mengen

 

Im Vergleich zu allgemeinen topologischen Räumen, in denen die Stetigkeit und Konvergenz von Abbildungen behandelt werden können, ist in und R. die Betrachtung gleichmäßig stetiger und gleichmäßig konvergenter Abbildungen möglich.